Sóc la Duna Galup i estic fent 3r d’ESO, i us vull explicar que el dissabte passat vaig estar a la tercera sessió d‘Anem x + matemàtiques, unes classes gratuïtes que s’imparteixen a la Universitat Politècnica de Catalunya per a joves de 3r o 4t d’ESO.
De fet, les classes estan pensades per alumnes de 4t, però com que jo tenia moltes ganes de participar-hi, finalment em van acceptar.
Farem un total de nou sessions a la Facultat de Matemàtiques i estadística de la UPC al llarg del curs. És una iniciativa impulsada pel Ministeri d’Educació i creada per la Federació Espanyola de Professors de Matemàtiques; a Catalunya està a càrrec de FEEMCAT (Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya).
Aquest dissabte, la classe tractava sobre criptografia. La criptografia estudia la manera de crear missatges que només puguin llegir les persones a qui van destinats per mitjà de xifrat o codificació. Per tal de aconseguir un codi segur que permeti la confidencialitat del missatge, s’utilitzen les matemàtiques.
Actualment, la criptografia és present en molts aspectes de la nostra vida. Amb l’augment de la tecnologia, s’han hagut de crear codis segurs per tal que ningú pugui accedir a la nostra informació. Però la criptografia s’utilitza des de fa molts segles, i ha tingut especial importància durant els períodes bèl·lics.
Un dels mètodes de xifratge més antic és el Xifrat de Cèsar, que és utilitzat des de l’antiga Roma. Aquest xifrat consisteix a desplaçar l’abecedari tres espais cap a la dreta, de manera que cada lletra se substitueix per la lletra que hi ha tres espais després. Un exemple senzill, la paraula SECRET, en xifratge de Cèsar s’escriuria VHELHW. En realitat, aquest mètode no és gaire segur, ja que es pot desxifrar amb facilitat el codi, com va succeir a la Segona guerra mundial amb la màquina Enigma.
També vam treballar l’anomenada aritmètica del rellotge, proposada pel matemàtic alemany Karl Friederich Gauss. Qualsevol persona que entengui el sistema horari sexagesimal pot afirmar que 4 hores després de les 10 del matí, són les dues. Estaríem dient que 10 + 4 = 2. Aquesta operació només té sentit si sabem que estem parlant de nombres enters fins al 12, per tant, quan arribem al nostre màxim (12) hem de “tornar a començar”
Aquest model rep el nom d’Aritmètica modular, i la podem fer servir per a fer sumes, restes i multiplicacions. El resultat que obtinguem serà en funció del modul n que estiguem utilitzant. Algunes operacions bàsiques:
8 + 9 + 2 ≡ 5 (mod 7)
9 · 11 ≡ 3 (mod 12)
26 ≡ 1 (mod 7)
Es pot dir que la divisió és l’invers de la multiplicació, però quan treballem amb mòduls, no sempre podem tenir l’invers.
Si intentem calcular inversos amb mod 7, veiem que els podem obtenir tots excepte el 0.
| Número |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| Invers |
– |
1 |
4 |
5 |
2 |
3 |
6 |
Provem a buscar l’invers amb mod 12
| Número |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| Invers |
– |
1 |
– |
– |
– |
5 |
– |
Si ho féssim amb altres mòduls, veuríem que només els nombres primers tenen tots els inversos.
Hem treballat aquests temes en grups per tal d’aprendre de manera cooperativa i amb l’ajuda de la professora encarregada de l’activitat. Ha estat una molt bona classe, en la que hem pogut aprendre molt tots junts.
Enllaç de les activitats treballades: Si lo escondo, ¿lo encuentras? Aritmetica del reloj
Comentaris recents