Tots els nombres naturals, excepte l’1 i el 0, tenen com a mínim dos divisors: el nombre 1, que divideix tots els nombres, i el mateix nombre.
- Un nombre natural és primer quan només té com a divisor l’1 i el mateix nombre. Hi ha infinits nombres primers: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…
- Un nombre natural és compost si té tres o més divisors: l’1, ell mateix i algun altre. Així, 4, 6, 9, 14… són nombres compostos perquè tenen més divisors a part del mateix nombre i de l’1.
L’1 no és considera un nombre primer, ni tampoc un nombre compost, perquè només té un divisor.
Per tant, el nombre primer més petit és el 2, l’únic nombre parell que és primer.
Hi ha nombrosos sistemes per saber si un nombre és primer. Un d’aquests sistemes consisteix a veure si és divisible pels successius nombres primers, de menor a major. Per fer-ho, cal dividir-lo pels nombres primers, començant pels més petits, fins que el quocient sigui major que el divisor. Si cap divisió no ha estat exacta, el nombre en qüestió és primer; en cas contrari, el nombre és compost.
| GARBELL D’ERATÒSTENES |
Estatòstenes va ser un astrònom, geògraf i matemàtic grec que, a més de calcular la circumferència de la Terra, va idear un mètode per trobar els nombres primers. Aquest mètode s’ha anomenat el garbell d’Eratòstenes.
Per trobar tots els nombres primers inferiors a un nombre N donat, mitjançant el garbell d’Eratòstenes, seguim aquests passos:
- Construïm una taula amb tots els nombres més petits o iguals que N.
- Eliminem l’1 ja que, com s’ha dit, no és un nombre primer.
3. Deixem el 2, que és primer, i n’eliminem tots els múltiples (es a dir, tots els parells).
4. Ens situem en el següent nombre que no estigui marcat, que serà un nombre primer, i n’eliminem els múltiples deixant el nombre, que en aquest cas és el 3. Una manera fàcil de fer-ho és anar sumant de 3 en 3.
5. Anem ara al següent nombre que no estigui marcat i seguim, en aquest cas és el 5. Recordem que tots els múltiples de 5 són aquells que acaben en 0 i 5!
6. Ens situem en el següent nombre que no estigui marcat, i repetim el procés fins que ens situem en el nombre primer més proper a l’arrel quadrada del nombre més alt de la sèrie (en aquest cas fins a 10). Arribats en aquest punt, els nombres que no estan marcats són nombres primers.
Ara et toca a tú fer el teu propi garbell d’Eratòstenes! Aquí pots resoldre’l d’una forma molt interactiva:
https://clic.xtec.cat/projects/esperato/jclic.js/index.html
A continuació realitza el següent mini-formulari!
