En aquest article aprofundim en com ensenyar a resoldre una divisió i les estratègies que fomenten la seva comprensió i flexibilitat en el càlcul.
Què significa realment saber dividir?
«Resolguem 158 : 3. Agafo el 15, quantes vegades cap el 3 en el 15? 5. I ara… com era? Baixo el 3? Resto primer?».
Segur que alguna vegada t’ha passat: quan et demanen resoldre una divisió en paper, necessites uns segons per recordar els passos exactes de l’algoritme. Això demostra que, quan basem tot l’aprenentatge d’una operació en un únic algoritme, perdem grans oportunitats per comprendre-la realment.
Entendre la divisió és essencial per treballar conceptes posteriors —com ara percentatges, fraccions o proporcionalitat— i, fins i tot, per al nostre dia a dia.
Dividir implica una sèrie de destreses que van més enllà de l’execució d’un algoritme. Un alumne que hagi comprès la divisió ha d’arribar al resultat correcte de manera eficient (fluida i precisa) i entendre què està fent i per què.
Llavors, com ho fem? Quines estratègies i materials utilitzem? Quan deixem de dependre’n?
Com veus, la divisió és com un iceberg: el que veiem a la superfície és només una petita part de la seva complexitat. Et convidem a submergir-te en aquest article i explorar les profunditats didàctiques que hi ha rere l’aprenentatge de la divisió.
Què és una divisió?
Repartir o fer grups. Aquesta és la qüestió.
Imagina que tens 24 caramels i vols repartir-los entre 6 nens de manera equitativa. Quants caramels rebrà cadascú? Aquesta és la visió més estesa de la divisió: repartir equitativament.
Però dividir també és fer paquets. Per exemple, quants paquets de 4 pilotes podem formar amb 24 pilotes? Aquesta perspectiva dona una altra dimensió a la divisió, obrint la porta a una comprensió més rica i profunda.
Com resoldre una divisió amb fluïdesa: del concret a l’abstracte
El primer que cal entendre és que no hi ha una única manera de dividir. L’algoritme que tots hem après no és l’únic que existeix. Tenir fluïdesa en una operació també implica conèixer les diverses formes de resoldre-la i tenir criteri per triar la més adequada segons el context i els nombres implicats.
Per garantir aquesta flexibilitat, a l’aula construïm un ampli ventall d’estratègies posant el focus en la seva comprensió, i les practiquem en múltiples ocasions per guanyar agilitat.
Les principals estratègies que treballem per dividir són:
- Estratègia de repartiments
- Estratègia de descomposició
En aquest cas, l’estratègia de repartiments segueix una seqüència d’aprenentatge basada en el model CRA (concret, representatiu, abstracte) per garantir-ne la comprensió. Passem per tres moments:
- Partim de la manipulació amb diferents materials (concret).
- Representem sobre paper el que fèiem manipulativament (representatiu).
- Passem a les representacions abstractes, com els algoritmes (abstracte).
Estratègia de repartiments: l’esquema vertical de la divisió
La primera estratègia que utilitzem per construir el concepte de divisió és la de repartiments. Ens serveix per treballar el càlcul escrit de la divisió de manera transparent fins a arribar a l’algoritme estàndard.
Trajectòria didàctica de l’estratègia de repartiments
El primer pas en la trajectòria didàctica de l’estratègia de repartiments és la manipulació d’objectes que podem repartir o agrupar. Ho fem a través de l’acció de dividir, és a dir, proposem situacions que ajudin els alumnes a fer repartiments en parts iguals. Per exemple, repartir cartes, cubets, etc.
A mesura que van repartint, hem d’animar-los a trobar maneres més eficients de fer-ho. Per exemple, en lloc de repartir d’1 en 1, fer-ho de 5 en 5, de 10 en 10, etc.
Després d’aquest primer contacte, i després de repetir aquest procés diverses vegades, els convidem a fer una primera aproximació a l’abstracció, representant en paper el que estaven fent manipulativament. Per exemple, plantegem una situació com aquesta: «Com es poden repartir 158 cartes entre 3 jugadors perquè tots tinguin la mateixa quantitat de cartes?».
A partir d’aquesta pregunta, els alumnes comparteixen la seva estratègia de repartiment i, a mesura que l’expliquen, enregistren els passos per escrit al seu quadern.
Potser primer reparteixen 10 cartes a cadascun. Per tant, els en quedaran 128 per repartir. Ara, com que se senten més segurs, en reparteixen 20 a cadascun i els en queden 68. Tornen a repartir 20 a cadascun, i es queden amb 8. Finalment, només necessiten repartir 2 a cadascun. Per tant, al final, han repartit 52 cartes a cada jugador i els n’han sobrat 2.
És evident que aquest procés els ajuda a entendre que les coses no passen perquè sí, i a comprendre d’on prové cada un dels passos. No obstant això, encara que és molt transparent, és un procés lent i poc eficient.
Per això, una vegada que hagin resolt correctament algunes divisions d’aquesta manera, hem de convidar-los a sortir de la seva zona de confort i animar-los a fer repartiments més eficients, centrant-se en les representacions en paper.
Així, de manera progressiva, anem retirant les bastides fins a arribar a l’optimització dels repartiments, tal com fèiem amb l’algoritme estàndard.
L’objectiu és que acabin resolent divisions de manera eficient i amb sentit, però entenent el perquè i l’origen de cada nombre en l’operació.
Una de les claus per aconseguir aquesta compactació és la pràctica. Automatitzar els processos i algoritmitzar les estratègies els ajudarà a dominar-les i a desenvolupar el seu criteri per triar la millor opció en cada context.
Estratègia de la divisió per descomposició
Paral·lelament, una altra estratègia que treballem per a la divisió és la de descomposició. Es tracta d’una estratègia més sofisticada que ens permetrà resoldre divisions mitjançant el càlcul mental.
I si el càlcul mental ens resulta molt útil per la rapidesa en sumes i restes, també ho és per a la divisió.
Aquesta estratègia consisteix a descompondre l’operació plantejada en divisions més senzilles de calcular.
Per exemple, per resoldre 158 : 3. , primer de tot, descomponem el 158 en 120 + 30 + 8. Després, dividim cadascun dels nombres entre el divisor de l’enunciat, el 3. Per tant, fem 120 : 3 = 40, 30 : 3 = 10 i 8 : 3 = 2 R2. Així doncs, el resultat és 52 R2.
No ens oblidem que, per aconseguir una descomposició eficient, convé triar els nombres de manera que, com a màxim, només un d’ells porti a una divisió amb residu.
Perquè el residu té molta importància. En les situacions quotidianes que plantegem apareix de forma natural. Tant és així que el residu pot ser la resposta a una situació en la qual es pregunta quants dels elements no s’han pogut repartir. I, més endavant, en cicle superior, el residu ens permetrà establir connexions amb els decimals i la divisibilitat.
Deduir resultats a partir de fets coneguts: la clau per pensar com un matemàtic
Paral·lelament a la construcció de les estratègies, a l’aula els alumnes també han de practicar i desenvolupar habilitats clau per a les matemàtiques, com deduir resultats a partir de fets que ja coneixen. Les matemàtiques són, per definició, una ciència deductiva.
Això no només fomenta la seva capacitat de raonament, sinó també altres competències essencials com establir connexions, formular conjectures i pensar com a autèntics matemàtics.
Per exemple, un alumne competent en fets coneguts i fets derivats pot deduir el resultat de 158 : 3 a partir d’altres resultats que ja coneix, com 150 : 3 (50), del qual pot deduir 153 : 3 (51), 156 : 3 (52) i 159 : 3 (53).
Aquest alumne ha deduït el resultat a partir de divisions exactes, sense residu. Com que 156 : 3 és 52 i 159 : 3 és 53, 158 : 3 és quasi 53 (52 R2). Aquest enfocament mostra no només una comprensió de la deducció, sinó també una aplicació flexible i funcional.
Els alumnes aviat descobreixen que aquesta estratègia és molt útil per resoldre càlculs més ràpidament. Per això han de practicar-la en diferents moments, per guanyar seguretat i fluïdesa.
La importància de fer estimacions
Finalment, no hem d’oblidar el càlcul estimatiu. Sí, els càlculs han de ser correctes i exactes. Però també és necessari tenir fluïdesa a l’hora de fer estimacions.
Fer bones estimacions abans de resoldre una operació ajuda a triar l’estratègia més adequada segons les circumstàncies (si tenen paper i llapis o han de fer-ho mentalment) i segons els nombres implicats (si són propers o llunyans entre si).
A més, haver fet una bona estimació també els ajudarà a determinar si el resultat obtingut és correcte o no.
Com aconseguir fluïdesa i criteri en l’ús d’estratègies
Un dels pilars per desenvolupar la fluïdesa en una operació és conèixer diferents maneres d’abordar-la.
A l’aula conviuen totes les estratègies que hem construït, per la qual cosa els alumnes no només han de comprendre-les, sinó també desenvolupar el criteri necessari per triar quina és la més adequada en funció del context i els nombres que han de treballar en cada operació.
Per assolir aquest objectiu, es dedica un temps important a construir profundament cadascuna de les estratègies, assegurant-ne la comprensió. No obstant això, la teoria no és suficient: la pràctica és imprescindible. Per aquest motiu, es proposen espais i activitats variades que treballen l’agilitat en els càlculs.
Encara que aquest procés requereix temps, la construcció d’una estratègia no sol estendre’s més enllà d’un mateix curs escolar. Per exemple, el pas a l’optimització dels repartiments no s’estén més enllà de 4t.
El que sí que s’amplia és la complexitat dels nombres amb els quals operem. A mesura que s’amplia el rang numèric, es reprèn el material manipulatiu amb l’objectiu de fer un altre cicle d’abstracció i abandonar-lo progressivament.
En definitiva, l’objectiu és construir una base sòlida perquè els alumnes avancin cap a processos matemàtics més abstractes i eficients, amb un coneixement que els permeti adaptar-se a qualsevol situació. I no ens oblidem de la pràctica, importantíssima per acabar de consolidar i automatitzar el que hem construït.
Referències bibliogràfiques
Bruner, J. S. (1966). Toward a Theory of Instruction. Cambridge: Harvard University Press.
Carpenter, T. P., et al. (1999). Las matemáticas que hacen los niños: la enseñanza de las matemáticas desde un enfoque cognitivo.
Traducción de Castro Hernández, C., y Alonso, M. L.
Hmelo‐Silver, C. E., Duncan, R. G., y Chinn, C. A. (2007). Scaffolding achievement in problem-based and inquiry learning: A response to Kirschner, Sweller, and Clark (2006). Educational Psychologist, 42, 99- 107. https://doi.org/10.1080/00461520701263368
Tall, D. (1993) Success and failure in mathematics: the flexible meaning of symbols as process and concept. Mathematics Teaching, (Vol. 14, pp. 6-10). ISSN 0025-5785.
Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2008). Children learn mathematics: Learning-teaching trajectory with intermediate attainment targets for calculation with whole numbers in primary school. Dutch design in mathematics education, V: 1. Utrecht: Freudenthal Institute, Sense Publishers.
Calvo, C., y Barba, D. (2005). 3×6.mat, Cuadernos de estrategias de cálculo. Barcelona.
Ifrah, G. (1998). Historia universal de las cifras: la inteligencia de la humanidad contada por los números y el cálculo (pp. 437, 1311). Madrid: Espasa, D. L.
Sarramona, J. y Pintó, C. (2000). Identificació de les competències bàsiques en l’ensenyament obligatori. Barcelona: Consejo Superior de Evaluación del Sistema Educativo del Departamento de Educación de la Generalitat de Cataluña.
Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2002), Realistic mathematics education as work in progress, en: FOU-LAI LIN (eds.), Common sense in Mathematics. https://www.fisme.science.uu.nl/publicaties/literatuur/4966.pdf
Laura Morera La Laura Morera és llicenciada en matemàtiques per la Universitat Politècnica de Catalunya (UPC), doctora en didàctica de les matemàtiques per la Universitat Autònoma de Barcelona (UAB), professora de la Universitat Oberta de Catalunya (UOC) i col·laboradora a Innovamat. La Laura compta amb més de 17 anys d’experiència docent a primària, secundària i a la universitat, i també ha liderat formacions per a docents. De fet, és coautora del llibre “Aprender a enseñar matemáticas en la educación secundaria obligatoria”, conjuntament amb la Cecilia Calvo, en Jordi Deulofeu i en Joan Jareño; entre altres publicacions.
Anna Llobet Redactora de continguts i comunicadora. Mentre estudiava a la Universitat Pompeu Fabra de Barcelona es va adonar de la importància de la comunicació per transmetre coneixements i emocionar. Sempre ha estat molt interessada en el món de l’educació i en els valors al voltant de l’aprenentatge matemàtic: «Les mates també són un llenguatge per explicar el món.»